【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较

在实际计算时，三种方法计算的金字塔组数noctaves，尺度空间坐标σ，以及每组金字塔内的层数S是一样的。同时，假设图像为640*480的标准图像。

金字塔层数：
<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>

其中o_min = 0，对于分辨率为640*480的图像N=5。每组金字塔内图像数：S=3，即在做极值检测时使用金子塔内中间3张图像。对于LoG每组金字塔内有S+2张图像（S=-1，0,1,2,3），需要做S+1次高斯模糊操作（后一张图像由前一张做高斯模糊得到）；而DoG每组金字塔有S+3张高斯图像，得到S+2张DoG图像。尺度空间系数：
<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>

其中，S表示每组金字塔内图像层数，n为当前高斯层数，取0-4。DoG需要5个尺度系数得到6张GSS图像，而LoG只需要前4个尺度系数得到5张图像。

<font size="3"><strong>LoG</strong></font>

高斯核使用正太分布（高斯函数）计算模糊模版，N维空间正太分布方程为：
<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>
于是，二维高斯模板上的距离中心点为(x,y)的元素对应高斯计算公式为：

<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>
规范化的高斯拉普拉斯图像为
<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>
最终构造LoG金字塔有5层，每层有S+2=5张图像，每层金字塔内每张图像尺度是前一张的k倍，即构成的连续尺度序列：

<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>
其中o为当前金字塔层数，n为在当前金字塔层中图像张数。

由于卷积计算性质：
<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>

在计算时，通过对前一张图像做尺度系数为<img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较">的卷积操作，可以减少卷积计算次数。故在金字塔每层内的S+2张图像，需要S+1次卷积操作，每次LoG核的尺度系数为：
<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>

<font size="3"><strong>DoG</strong></font>

由于LoG与Gauss核具有如下关系：
<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>
即，
<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>
因此，LoG算子可以用高斯差分算子DoG（Difference of Guassians）表示。

<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>
于是通过高斯金字塔每层内相邻两张图像相减可以得到DoG金字塔。对于最后需要S张图像寻找极值点，需要S+2张DoG图像，S+3张高斯图像。具体关系如图2.所示。
<center><img width="600" src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>

LoG & DoG

一个直观的比较结果，使用<img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较">分别计算LoG和DoG，得到：
<center><img src="http://imgtec.eetrend.com/sites/imgtec.eetrend.com/files/201809/blog/17…; alt="【计算机视觉】SIFT中LoG和DoG比较"></center>
可以看到，LoG比DoG明显需要更多的加法运算和乘法运算。虽然DoG需要在每层金字塔多做一次高斯操作（即为了得到S+2张DoG图需要S+3张高斯模糊图），但通过减法取代LoG核的计算过程，显著减少了运算次数，大大节省了运算时间。

作者：xiaowei_cqu
出处：http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu