循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法

由 demi 提交于周三, 8 五月 2019 - 09:30

在前面我们讲到了DNN，以及DNN的特例CNN的模型和前向反向传播算法，这些算法都是前向反馈的，模型的输出和模型本身没有关联关系。今天我们就讨论另一类输出和模型间有反馈的神经网络：循环神经网络(Recurrent Neural Networks ，以下简称RNN)，它广泛的用于自然语言处理中的语音识别，手写书别以及机器翻译等领域。

1. RNN概述

在前面讲到的DNN和CNN中，训练样本的输入和输出是比较的确定的。但是有一类问题DNN和CNN不好解决，就是训练样本输入是连续的序列,且序列的长短不一，比如基于时间的序列：一段段连续的语音，一段段连续的手写文字。这些序列比较长，且长度不一，比较难直接的拆分成一个个独立的样本来通过DNN/CNN进行训练。

而对于这类问题，RNN则比较的擅长。那么RNN是怎么做到的呢？RNN假设我们的样本是基于序列的。比如是从序列索引 1 到序列索引 τ 的。对于这其中的任意序列索引号 t，它对应的输入是对应的样本序列中的 x(t)。而模型在序列索引号 t 位置的隐藏状态 h(t)，则由 x(t) 和在 t−1 位置的隐藏状态 h(t−1)共同决定。在任意序列索引号 t，我们也有对应的模型预测输出 o(t) 。通过预测输出 o(t) 和训练序列真实输出 y(t)，以及损失函数 L(t)，我们就可以用DNN类似的方法来训练模型，接着用来预测测试序列中的一些位置的输出。

下面我们来看看RNN的模型。

2. RNN模型

RNN模型有比较多的变种，这里介绍最主流的RNN模型结构如下：

上图中左边是RNN模型没有按时间展开的图，如果按时间序列展开，则是上图中的右边部分。我们重点观察右边部分的图。

这幅图描述了在序列索引号t附近RNN的模型。其中：

1）x(t) 代表在序列索引号t时训练样本的输入。同样的，x(t−1) 和x(t+1) 代表在序列索引号 t−1 和 t+1 时训练样本的输入。

2）h(t) 代表在序列索引号t时模型的隐藏状态。h(t) 由 x(t) 和 h(t−1) 共同决定。

3）o(t) 代表在序列索引号t时模型的输出。o(t) 只由模型当前的隐藏状态 h(t) 决定。

4）L(t) 代表在序列索引号t时模型的损失函数。

5）y(t) 代表在序列索引号t时训练样本序列的真实输出。

6）U，W，V这三个矩阵是我们的模型的线性关系参数，它在整个RNN网络中是共享的，这点和DNN很不相同。也正因为是共享了，它体现了RNN的模型的“循环反馈”的思想。　　

3. RNN前向传播算法

有了上面的模型，RNN的前向传播算法就很容易得到了。

对于任意一个序列索引号t，我们隐藏状态 h(t) 由 x(t) 和 h(t−1) 得到：

其中 σ 为RNN的激活函数，一般为 tanh, b为线性关系的偏倚。

序列索引号 t 时模型的输出 o(t) 的表达式比较简单：

在最终在序列索引号t时我们的预测输出为:

通常由于RNN是识别类的分类模型，所以上面这个激活函数一般是softmax。

通过损失函数L(t)，比如对数似然损失函数，我们可以量化模型在当前位置的损失，即<img src="http://imgtec.eetrend.com/files/2019-05/%E5%8D%9A%E5%AE%A2/100042901-68…; alt="">和 y(t) 的差距。

4. RNN反向传播算法推导

有了RNN前向传播算法的基础，就容易推导出RNN反向传播算法的流程了。RNN反向传播算法的思路和DNN是一样的，即通过梯度下降法一轮轮的迭代，得到合适的RNN模型参数 U，W，V，b，c 。由于我们是基于时间反向传播，所以RNN的反向传播有时也叫做BPTT(back-propagation through time)。当然这里的BPTT和DNN也有很大的不同点，即这里所有的 U，W，V，b，c 在序列的各个位置是共享的，反向传播时我们更新的是相同的参数。

为了简化描述，这里的损失函数我们为交叉熵损失函数，输出的激活函数为softmax函数，隐藏层的激活函数为tanh函数。

对于RNN，由于我们在序列的每个位置都有损失函数，因此最终的损失 L 为：

其中 V，c，的梯度计算是比较简单的：

但是 W，U，b 的梯度计算就比较的复杂了。从RNN的模型可以看出，在反向传播时，在在某一序列位置t的梯度损失由当前位置的输出对应的梯度损失和序列索引位置 t+1 时的梯度损失两部分共同决定。对于 W 在某一序列位置t的梯度损失需要反向传播一步步的计算。我们定义序列索引t位置的隐藏状态的梯度为：

这样我们可以像DNN一样从 δ(t+1) 递推 δ(t) 。

对于 δ(τ)，由于它的后面没有其他的序列索引了，因此有：

有了 δ(t)，计算 W，U，b 就容易了，这里给出 W，U，b 的梯度计算表达式：

除了梯度表达式不同，RNN的反向传播算法和DNN区别不大，因此这里就不再重复总结了。

5. RNN小结

上面总结了通用的RNN模型和前向反向传播算法。当然，有些RNN模型会有些不同，自然前向反向传播的公式会有些不一样，但是原理基本类似。

RNN虽然理论上可以很漂亮的解决序列数据的训练，但是它也像DNN一样有梯度消失时的问题，当序列很长的时候问题尤其严重。因此，上面的RNN模型一般不能直接用于应用领域。在语音识别，手写书别以及机器翻译等NLP领域实际应用比较广泛的是基于RNN模型的一个特例LSTM，下一篇我们就来讨论LSTM模型。

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参考资料：
1）<a href="http://neuralnetworksanddeeplearning.com/index.html">Neural Networks and Deep Learning</a> by By Michael Nielsen
2）<a href="http://www.deeplearningbook.org/">Deep Learning</a>, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville
3）<a href="http://ufldl.stanford.edu/tutorial/">UFLDL Tutorial</a>
4）<a href="http://cs231n.github.io/convolutional-networks/">CS231n Convolutional Neural Networks for Visual Recognition, Stanford</a>

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